Análisis de Funciones

Mediante este ejercicio, voy a analizar de manera completa una función de grado 4:

F(x)= x^4+x^3-3x^2-x+2

Dicha función, de forma factorizada, se puede apreciar como:

(x+2)(x-1)^2(x+1)

GRAFICO:

ANÁLISIS:

Dominio: R (Para todos los valores de x, existe un valor en y)

Imagen: R >(-1.6) (para ningun valor de x, y es igual a un número mayor a -1.6)

Raíces: -2; -1 y 1.

Ordenada al origen: 0^4+0^3-3.0^2-0+2 = 2

Conjunto de positividad: (-∞;-2)U(-1;1)U(1; ∞)

Conjunto de negatividad: (-2;-1)

Intervalo de crecimiento: (-1.59;-0.15)U(1; ∞)

Intervalo de decrecimiento: (-∞; -1.59)U(-0.15;1)

Máximos y mínimos:

• Para encontrar máximos y mínimos el primer paso es encontrar la derivada de la función:

F(x)= x^4+x^3-3x^2-x+2

F’(x)= 4x^3+3x^2-6x-1

• El segundo paso consiste en (mediante Gauss) identificar con que valor la derivada se anula.

P=-1 Q=4

P:1

Q:1;2;4

P/Q = 1

• Al concluir este ejercicio, tenemos como resultado a una ecuación cuadrática:

F’(x)= 4x^2+7x+1

A B C

• Aplicamos la resolvente:

• El siguiente paso consiste en reemplazar los valores obtenidos en la resolvente de la ecuación cuadrática, directamente en la derivada de F’(x), a fin de establecer si se trata de un máximo o un mínimo.

F’’(x)= 8x+7

F’’(-0.15)= 8.(-0.15)+7= 5,8 -->MAXIMO

F’’(-1.59)= 8.(-1.59)+7= -5,72 -->MINIMO

• Ahora reemplazamos los valores de x en la función original para obtener las coordenadas de x en el eje y:

F(-0.15)= (-0.15)^4+(-0.15)^3-3(-0.15)^2-(-0.15)+2= 2,08

MAXIMO= (-0.15; 2.08)

F(-1.59)= (-1.59)^4+(-1.59)^3-3 (-1.59)^2-(-1.59)+2= 1.6

MINIMO= (-1.59; -1.6)

F(1)= 1^4+1^3-3.1^2-1+2 = 0

MINIMO= (1;0)